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2018年高考天津理数真题卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(理工类)

本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第12页,第35页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!

I

注意事项:

1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:

如果事件AB互斥,那么.

如果事件AB相互独立,那么.

棱柱的体积公式,其中表示棱柱的底面面积,表示棱柱的高.

棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.

. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)设全集为R,集合,则

(A) (B)

(C) (D)

(2)设变量xy满足约束条件则目标函数的最大值为

(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D)45

(3)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4

(4),则“”是“”的

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(5)已知,则abc的大小关系为

(A) (B) (C) (D)

(6)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数

(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减

(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减

(7)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两点. AB到双曲线同一条渐近线的距离分别为,且,则双曲线的方程为

(A) (B)

(C) (D)

(8)如图,在平面四边形ABCD中,. 若点E为边CD上的动点,则的最小值为

(A) (B) (C) (D)

注意事项:

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2. 本卷共12小题,共110分。

.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

(9) i是虚数单位,复数.

(10)的展开式中,的系数为.

(11) 已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点EFGHM(如图),则四棱锥的体积为.

(12)已知圆的圆心为C,直线(为参数)与该圆相交于AB两点,则的面积为.

(13)已知,且,则的最小值为.

(14)已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是.

.解答题:本大题共6小题,共80.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15(本小题满分13分)

中,内角ABC所对的边分别为abc.已知.

I)求角B的大小;

II)设a=2c=3,求b的值.

(16)(本小题满分13)

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为241616. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;

ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

(17)(本小题满分13)

如图,AD=2BC,EG=ADCD=2FGDA=DC=DG=2.

I)若MCF的中点,NEG的中点,求证:

II)求二面角的正弦值;

III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.

(18)(本小题满分13)

是等比数列,公比大于0,其前n项和为是等差数列. 已知.

I)求的通项公式;

II)设数列的前n项和为

i)求

ii)证明.

(19)(本小题满分14)

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.

I)求椭圆的方程;

II)设直线l与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.

(O为原点),求k的值.

(20)(本小题满分14)

已知函数,其中a>1.

I)求函数的单调区间;

II)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明

III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案:

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.

1B 2C 3B 4A

5D 6A 7C 8A

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.

94–i 10 11

12 13 14

三、解答题

15本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.

(Ⅰ)解:在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=

(Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理及a=2c=3B=,有,故b=

,可得.因为a<c,故.因此

所以,

16本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

(Ⅰ)解:由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.

(Ⅱ)(i)解:随机变量X的所有可能取值为0123

PX=k=k=0123).

所以,随机变量X的分布列为

 

X

0

1

2

3

P

随机变量X的数学期望

ii)解:设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且BC互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2)P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=学科网

所以,事件A发生的概率为学科网

17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

依题意,可以建立以D为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D000),A200),B120),C020),E202),F012),G002),M01),N102).

(Ⅰ)证明:依题意=020),=202).设n0=(xyz)为平面CDE的法向量,则不妨令z=–1,可得n0=10–1).又=11),可得,又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE

)解:依题意,可得=–100),=0–12).

n=xyz)为平面BCE的法向量,则不妨令z=1,可得n=011).

m=xyz)为平面BCF的法向量,则不妨令z=1,可得m=021).

因此有cos<mn>=,于是sin<mn>=

所以,二面角EBCF的正弦值为

(Ⅲ)解:设线段DP的长为hh∈[02]),则点P的坐标为(00h),可得

易知,=020)为平面ADGE的一个法向量,故

由题意,可得=sin60°=,解得h=02].

所以线段的长为.

18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13.

I)解:设等比数列的公比为q.可得.

因为,可得,故.

设等差数列的公差为d,由,可得

可得从而

所以数列的通项公式为,数列的通项公式为

II)(i)由(I),有,故

.

ii)证明:因为

所以,.

19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.

(Ⅰ)解:设椭圆的焦距为2c,由已知知学科网,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,学科网学科网,由学科网,可得ab=6,从而a=3b=2

所以,椭圆的方程为学科网

(Ⅱ)解:设点P的坐标为(x1y1),点Q的坐标为(x2y2).由已知有y1>y2>0,故学科网.又因为学科网,而∠OAB=学科网,故学科网.由学科网,可得5y1=9y2

由方程组学科网消去x,可得学科网.易知直线AB的方程为x+y–2=0,由方程组学科网

消去x,可得学科网.由5y1=9y2,可得5k+1=学科网,两边平方,整理得学科网,解得学科网,或学科网

所以,k的值为学科网

20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14.

I)解:由已知,,有.

,解得x=0.

a>1,可知当x变化时,的变化情况如下表:

x

0

0

+

极小值

所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.

II)证明:,可得曲线在点处的切线斜率为.

,可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行,故有,即.

两边取以a为底的对数,得,所以.

III证明:曲线在点处的切线l1.

曲线在点处的切线l2.

要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,使得l1l2重合.

即只需证明当时,方程组有解,

,代入,得.

因此,只需证明当时,关于x1的方程有实数解.

设函数,即要证明当时,函数存在零点.

,可知时,时,单调递减,又

,故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即

.

由此可得上单调递增,在上单调递减.处取得极大值.

因为,故

所以.

下面证明存在实数t,使得.

由(I)可得

时,

所以存在实数t,使得

因此,当时,存在,使得.

所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.#

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