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2017年高考全国卷 III - 理数

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3

理科数学

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合,则中元素的个数为

A.3                B.2                C.1                D.0

2.设复数满足,则

A.               B.             C.             D.2

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在78

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

4的展开式中的系数为()

A-80              B-40              C40               D80

5.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则的方程为()

A      B      C      D

6.设函数,则下列结论错误的是()

A的一个周期为           B的图像关于直线对称

C的一个零点为       D单调递减

7.执行右图的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整数的最小值为

A5

B4

C3

D2

8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()

A               B

C               D

9.等差数列的首项为1,公差不为0.若成等比数列,则6项的和为

A-24              B-3                   C3                    D8

10.已知椭圆)的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()

A             B                 C                 D

11.已知函数有唯一零点,则()

A             B                   C                   D1

12.在矩形中,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为

A3                B             C              D2

二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.若满足约束条件的最小值为________

14.设等比数列满足,则________

15.设函数则满足的取值范围是________

16为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的直角边高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。所在直线与都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:

①当直线角时,角;

②当直线角时,角;

③直线所成角的最小值为

④直线所成角的最大值为

其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)

三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)

(一)必考题:共60分.

17.(12分)

的内角的对边分别为,已知

1)求

2)设边上一点,且,求的面积.

18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温

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天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;

高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的数学期望达到最大值?

19.(12分)如图,四面体高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。中,高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。是正三角形,高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。是直角三角形.高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

1)证明:平面高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。平面高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

2)过高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的平面交高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。于点高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,若平面高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。把四面体高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。分成体积相等的两部分.求二面角高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的余弦值.

20.(12分)已知抛物线高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,过点(20)的直线高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。两点,圆高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。是以线段高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为直径的圆.

1)证明:坐标原点高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。在圆高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上;

2)设圆高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。过点高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。4高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。),求直线与圆高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的方程.

21.(12分)已知函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

1)若高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,求的值;

2)设高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为整数,且对于任意正整数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,求高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的最小值.

(二)选考题:共10分。请考生在第2223题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22[选修4-4:坐标系与参数方程]10分)

在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),直线的参数方程为为参数),设的交点为,当变化时,的轨迹为曲线

1)写出的普通方程:

2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设的交点,求的极径.

23[选修4-5:不等式选讲]10分)

已知函数

1)求不等式的解集;

2)若不等式的解集非空,求的取值范围.

 


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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3

理科数学参考答案

一、选择题

1.B    2.C    3.A    4C    5B    6D

7D    8B    9A    10A   11C   12A

二、填空题

13高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。     14高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。     15       16

三、解答题

17.解:

1)由已知可得,所以

中,由余弦定理得,即

解得(舍去),

2)由题设可得,所以

面积与面积的比值为

的面积为,所以的面积为

 

18.解:

1)由题意知,所有可能取值为200,300,500,由表格数据知

.

因此的分布列为:

200

300

500

0.2

0.4

0.4

2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200500

时,

若最高气温不低于25,则

若最高气温位于区间[20,25),则

若最高气温低于20,则

因此

时,

若最高气温不低于20,则

若最高气温低于20,则

因此

所以时,的数学期望达到最大值,最大值为520元。

19.解:

1)由题设可得,,从而

是直角三角形,所以

的中点,连结

又由于是正三角形,故

所以为二面角的平面角

中,

,所以

,故

所以平面平面

2)由题设及(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则

由题设知,四面体的体积为四面体的体积的,从而到平面的距离为到平面的距离的,即的中点,得,故

是平面的法向量,则同理可取

所以二面角的余弦值为

20.解:

1)设

可得,则

,故

因此的斜率与的斜率之积为,所以

故坐标原点在圆

2)由(1)可得

故圆心的坐标为,圆的半径

由于圆过点,因此

由(1)可得

所以,解得

时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为

时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为

21.解:

1的定义域为

① 若,因为,所以不满足题意;

② 若,由知,当时,;当时,。所以单调递减,在单调递增。故的唯一最小值点。

由于,所以当且仅当时,

2)由(1)知当时,

,得,从而

,所以的最小值为3

22.解:

1)消去参数的普通方程;消去参数的普通方程

,由题设得消去

所以的普通方程为

2的极坐标方程为

联立

,从而

代入,所以交点的极径为

23.解:

1

时,无解;

时,由得,,解得

时,由解得

所以的解集为

2)由,而

且当时,

的取值范围为

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