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2018年高考全国卷 II - 理数

全国二——理科数学

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共23题,共150分,共5页。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.

A.

B.

C.

D.

2.已知集合A={(xy)|x ²+y ²3xZyZ},则A中元素的个数为

A.9

B.8

C.5

D.4

3.函数fx=e ²-e-x/x ²的图像大致为

A.

 

B.

 

C.

 

D.

 

 

4.已知向量ab满足∣a=1a·b=-1,a·(2a-b=

A.4

B.3

C.2

D.0

5.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1a0b0的离心率为,则其渐进线方程为

A.y=±x

B.y=±x

C.y=±

D.y=±

6.中,cos=BC=1AC=5,则AB=

A.4

B.

C.

D.2

7.为计算s=1-+-+…+-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入

A.i=i+1

B.i=i+2

C.i=i+3

D.i=i+4

 

 

 

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

A.

B.

C.

D.

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1AA1=则异面直线AD1DB1所成角的余弦值为

A.

B.

10.fx=cosx-sinx在[-aa]是减函数,则a的最大值是

A.

B.

C.

D. π

 

11.已知fx)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f1-x=f1+x)。若f1=2,则f1+ f2+ f3++f50=

A.-50   

B.0   

C.2    

D.50

 

12.已知F1F2是椭圆C: =1a>b>0的左、右焦点,AC的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为

A..   

B.    

C.   

D.

 

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线y=2lnx+1)在点(00)处的切线方程为________

14.xy满足约束条件z=x+y的最大值为_________

15.已知sinα+cosβ=1cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________

16.已知圆锥的顶点为S,母线SASB所成角的余弦值为SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为,则该圆锥的侧面积为________

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.12分)

Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7S1=-15

1)求{an}的通项公式;

2)求Sn,并求Sn的最小值。

 

18.12分)

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为12,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为12,…,7)建立模型②:=99+17.5t

(1)  分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

(2)  你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。

19.12分)

设抛物线Cy²=4x的焦点为F,过F且斜率为kk>0)的直线lC交于AB两点,| AB|=8

(1) l的方程;

(2) 求过点AB且与C的准线相切的圆的方程。

 

20.12分)

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2PA=PB=PC=AC=4OAC的中点。

1)证明:PO平面ABC

2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值。

 

21、(12分)

已经函数fx=ex-ax2

1)若a=1,证明:当x 0时,fx 1

2)若fx)在(0+)只有一个零点,求a

 

(二)选考题:共10分,请考生在第2223题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22[选修4-4:坐标系与参数方程]10分)

在直角坐标系中xOy中,曲线C的参数方程为 θ 为参数),直线l的参数方程为,t为参数)。

1)求Cl的直角坐标方程;

2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(12),求l的斜率。

23[选修4-5:不等式选讲]10分)

设函数fx=5-| x+a|-| x-2|

1)当a=1时,求不等式fx 0的解集;

2)若fx 1时,求a的取值范围。

 

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