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2017年高考江苏数学真题卷

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学I

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上

1. 已知集合,若,则实数a的值为________

2. 已知复数,其中i是虚数单位,则z的模是__________

3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取         

4. 右图是一个算法流程图,若输入的值为,则输出的的值是           

5. ,则          

6. 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切。记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是    

7. 记函数的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x D的概率是    

8. 在平面直角坐标系中,双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是,则四边形的面积是       

9. 等比数列的各项均为实数,其前n项的和为,已知,则     

10. 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是     

11. 已知函数,其中是自然数对数的底数,若,则实数的取值范围是        

12. 如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1的夹角为,且的夹角为45°。若,则        

13. 在平面直角坐标系中,A-12,0),B0,6),点P在圆上,若,则点P的横坐标的取值范围是           .

14. 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[0,1)上,其中集合,则方程的解的个数是           .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分14分)

如图,在三棱锥中,ABADBCBD,平面ABD平面BCD,点EFEAD不重合)分别在棱ADBD上,且EFAD

求证:(1平面

2

16. (本小题满分14分)

已知向量.

1)若,求的值;

2)记,的最大值和最小值以及对应的值

17.(本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为8.P在椭圆E上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.

1)求椭圆E的标准方程;

2)若直线的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.

 

18. (本小题满分16分)

如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线的长为,容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;

2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.

19.(本小题满分16分)

对于给定的正整数,若数列满足:

,对任意正整数总成立,则称数列数列”.

1)证明:等差数列数列

2)若数列既是数列,又是数列,证明:是等差数列.

20.(本小题满分16分)

已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)   b关于a的函数关系式,并写出定义域;

(2)   证明:

(3)   这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学II(附加题)

21.【选做题】本题包括ABCD四小题,请选定其中两小题并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)

如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点CAPPCP为垂足。

求证:(1

2

B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵.

1)求

2)若曲线 在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.

C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为t为参数),曲线的参数方程为s为参数)。设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值

D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

已知为实数,且,证明.

 

22.(本小题满分10分)

如图,在平行六面体中,⊥平面,且.

1)求异面直线所成角的余弦值;

2)求二面角的正弦值。

 

23. (本小题满分10

已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n  ,n 2,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,……,m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,……,m+n.

1

2

3

......

m+n

1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(x)x的数学期望,证明:

2017年高考江苏卷数学参考答案

一、填空题

1. 1            2.          3. 18               4. -2           5. 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

6. 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。           7. 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。           8.             9. 32           10. 30

11. 高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。      12. 3           13.        14. 8

二、解答题

15.证明:

1)在平面高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。内,ABAD高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

所以

又因为平面高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。平面

所以平面.

2)因为平面⊥平面

平面平面

平面,

平面平面

所以⊥平面

又因为平面

所以

16. 解:

1)因为

所以

,则,与矛盾,故

于是

,所以

2

因为,所以高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

从而

于是,当,即高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。时,取到最大值3

,即高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。时,取到最小值

17.解:

1)设椭圆的半焦距为

因为椭圆的离心率为高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,两准线之间的距离为8

所以

解得高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,于是高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

因此椭圆的标准方程为高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.

2)由(1)知,

高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,因为为第一象限的点,故高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

时,相交于,与题设不符

时,直线的斜率为,直线的斜率为

因为,所以直线的斜率为,直线的斜率为

从而直线的方程:                       

直线的方程:                   

由①②,解得,所以

因为点在椭圆上,由对称性,得,即

在椭圆上,故

解得无解

因此点的坐标为.

18.解:

1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面

记玻璃棒的另一端落在上点

因为

所以,从而

与水面的交点为,过为垂足,

平面,故

从而

答:玻璃棒没入水中部分的长度为

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm

2)如图,是正棱台的两底面中心

由正棱台的定义,平面,所以平面平面

同理,平面平面

记玻璃棒的另一端落在上点N

G为垂足,

因为

所以,从而

,则

因为,所以

中,由正弦定理可得,解得

因为,所以

于是

与水面的交点为,过为垂足,则平面

,从而

答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm

19.证明:

1)因为是等差数列,设其公差为,则

从而,当时,

所以

因此等差数列是“数列”

2)数列既是“数列”,又是 “数列”,因此,

时,                    

时,         

由①知,                  

                  

将③④代入②,得,其中

所以是等差数列,设其公差为

在①中,取,则,所以

在①中,取,则,所以

所以数列是等差数列

20. 解:

1)由,得

时,有极小值

因为的极值点是的零点,

所以,又,故

因为有极值,故有实根,从而,即

时,,故上是增函数,没有极值;

有两个相异的实根

列表如下:

       

+

0

-

0

+

极大值

极小值

的极值点是

从而

因此,定义域为

2)由(1)知,

,则

时,,从而上单调递增

因为,所以,故,即

因此

3)由(1)知,的极值点是,且

从而

所有极值之和为

因为的极值为,所以

因为,于是上单调递减

因为,于是,故

因此的取值范围为

21.

A.证明:(1)因为切半圆于点

所以

所以为半圆的直径,

所以

因为,所以

因此

2)由(1)可得,故,即

B.解:(1)因为

所以

2)设为曲线上的任意一点,

它在矩阵对应的变换作用下变为

,即所以

因为点在曲线上,则

从而,即

因此曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线

C.解:直线的普通方程为

因为点在曲线上,设

从而点到直线的的距离

时,

因此当点的坐标为(4,4)时,曲线上点到直线的距离取到最小值

D.证明:由柯西不等式可得:

因为

所以

因此

22.解:在平面内,过点,交于点

因为平面

所以

如图,以为正交基底,

建立空间直角坐标系

因为

1

因此异面直线所成角的余弦值为

2)平面的一个法向量为

为平面的一个法向量,

不妨取,则

所以为平面的一个法向量,

从而

设二面角的大小为,则

因为,所以

因此二面角的正弦值为

23.解:

1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为:

2)随机变量的概率分布为:

...

...

...

...

随机变量的的期望为:

所以

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