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2017年高考北京理数真题卷

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(北京卷)

本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题  40分)

一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合,则=

(A)                  (B)

(C)                    (D)

2)若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是

A                           B

C                           D

3)执行如图所示的程序框图,输出的值为

A2

B

C

D

4)若满足 ,则的最大值为

A1                                 B3

C5                                 D9

5)已知函数,则

    A)是奇函数,且在R上是增函数         B)是偶函数,且在R上是增函数

    C)是奇函数,且在R上是减函数         D)是偶函数,且在R上是减函数

6)设为非零向量,则存在负数,使得

    A)充分而不必要条件                    B)必要而不充分条件

    C)充分必要条件                        D)既不充分也不必要条件

7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为

A        B         C            D2

8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是(   )(参考数据:lg3≈0.48

A                          B

C                          D

第二部分(非选择题  110分)

二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分。

9)若双曲线的离心率为,则实数=_________.

10)若等差数列和等比数列满足,则=_______.

11)在极坐标系中,点在圆上,点的坐标为(1,0),则的最小值为___________.

12)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.,则___________.

13)能够说明是任意实数.若,则是假命题的一组整数的值依次为______________________________

14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数,点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数,=123.

为第名工人在这一天中加工的零件总数,则中最大的是______.

为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则中最大的是_________.

三、解答题:共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

15)(本小题13分)

中,

)求的值;

)若,求的面积.

16)(本小题14分)

如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,平面

I)求证:的中点;

II)求二面角的大小;

III)求直线与平面所成角的正弦值.

(17)(本小题13分)

为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药,一段时间后,记录了两组患者的生理指标的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示为服药者.

)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标的值小于60的概率;

)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望

试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.(只需写出结论)

18)(本小题14分)

已知抛物线过点,过点作直线与抛物线交于不同的两点,过点轴的垂线分别与直线交于点,其中为原点.

)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

)求证:为线段的中点.

19)(本小题13分)

已知函数

)求曲线在点处的切线方程;

)求函数在区间上的最大值和最小值.

20)(本小题13分)

是两个等差数列,记

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其中表示个数中最大的数.

)若,求的值,并证明是等差数列;

)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列.

 


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理科数学参考答案(北京卷)

一、选择题

(1)2345678D

二、填空题

92      101     111     12高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

13-1-2-3        14

三、解答题

15)解:

1)根据正弦定理

2)当时,

16

1)证明:

连接ACBD.高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.连接OM

PD平面MAC

平面PBD高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。平面MAC=MO

PDMO

OBD中点

MPB中点

2)取AD中点G,连接PG

PA=PD

PGAD

平面PAD平面ABCD且平面PAD高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。平面ABCD=AD

PG平面ABCD

因为GAD的中点,OAC的中点,所以OG//CD

因此,OGAD

G为坐标原点,分别以GD,GO,GP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系

B(-240)P(00)D(200)A(-200)

易知平面PDA的法向量

设平面BPD的法向量,则

二面角B-PD-A的平面角为

3)解:

,平面PAD的一个法向量为

所以,直线MC与平面BDP所成角的正弦值为

(17)解:

)由图知:在50名服药患者中,有15名患者指标y的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标小于60的概率为:

)由图知:A、C两人指标x的值大于1.7,而B、D两人则小于1.7,可知在私人中随机选出的2人中指标x的值大于1.7的人数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的可能取值为0,1,2.

所以,高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的分布列如下:

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0

1

2

P

由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。

18)解:

(Ⅰ)因为抛物线过点

代入,得

∴焦点坐标,准线为

(Ⅱ)设过点的直线方程为

直线,直线

由题意知

,可得

A为线段BM中点。

19)解:

(Ⅰ)

∴曲线在点处的切线斜率为

切点为

∴曲线在点处的切线方程为

(Ⅱ)

,可得

即有上单调递减,可得

所以上单调递减,

所以函数在区间上的最大值为

最小值为

20)解:

(Ⅰ)

时,

时,

时,

下面证明:

对于,都有

时,

 

因为,且,所以

所以,对于

所以,

所以等差数列。

(Ⅱ)

1)设的公差为,对于

其中任意项,1<i<n

 

则对于给定的正整数n

此时,故数列为等差数列

   ,则

则对于给定正整数

此时,∴数列为等差数列

2)若,此时为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数,

故必存在,使得时,

则当时,

因此,当时,

所以,是从第m项开始为等差数列。

3)若,此时为一个关于n的一次项系数为整数的一次函数,

故必存在,使得时,

则当时,

因此当时,

此时,

下面证明:对任意正整数,存在正整数,使得时,

  ,取 ([]表示不大于的最大整数)

时,

此时命题成立

  ,取

时,此时命题成立。

综上,对任意正整数存在,使得当时,

综合以上三种情况,命题得证.

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